Question

问一道高二椭圆方程的题

椭圆x²/4+y²/5=1的两个焦点为F1,F2，P为椭圆的动点，
1.求|PF1|*|PF2|的最大值
2.求|PF1|-|PF2|的最大值

Answer 1

椭圆x²/4+y²/5=1中，长半轴长a=√5，短半轴长b=2，半焦距c=1.
设|PF1|=s，|PF2|=t，则s+t=2a=2√5.

（1）由均值不等式可知，st≤[(s+t)/2]²=a²=5，(当且仅当s=t=√5时取等号)，
∴当|PF1|=|PF2|=√5时，|PF1|×|PF2|有最大值5；

（2）s-t=s-(2a-s)=2s-2a=2(s-√5)，
∵a-c≤s≤a+c，
∴√5-1≤s≤√5+1，
-1≤s-√5≤1，
-2≤2(s-√5)≤2，
∴当s=√5+1时，s-t有最大值2，
即当|PF1|=√5+1时，|PF1|-|PF2|有最大值2.

Answer 2

同学你上课干啥

Answer 3

解：易知，a²=5,b²=4,c²=1.===>a=√5,b=2,c=1.(一）由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=2√5.由均值不等式可得2√5=|PF1|+|PF2|≥2√(|PF1|×|PF2|).===>|PF1|×|PF2|≤5.等号仅当|PF1|=|PF2|=√5时取得。∴（|PF1|×|PF2|)max=5.(二）易知，F1(0,1),F2(0,-1).可设点P(2cost,√5sint).由“两点间距离公式”得：d=|PF1|-|PF2|=√[4cos²t+(√5sint-1)²]-√[4cos²t+(√5sint+1)²]=√(√5-sint)²-√(√5+sint)²=|√5-sint|-|√5+sint|=-2sint.∴-2≤|PF1|-|PF2|≤2.∴(|pf1|-|pf2|)max=2.