Question

已知f(x)=x^2+ax+a,(a≤2,x∈R),g(x)=e^(-x),Φ(x)=f(x)*g(x) 1.a=1,Φ(x)的单调区间? 2.g(x)在点(0,...

已知f(x)=x^2+ax+a,(a≤2,x∈R),g(x)=e^(-x),Φ(x)=f(x)*g(x)
1.a=1,Φ(x)的单调区间?
2.g(x)在点(0,l)处的切线与直线x=1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积
3.是否存在实数a,使Φ(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由?

Answer 1

：（1）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e-x．φ′（x）=e-x（-x2+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间，（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为：（0，1）
（2）k=g'（0）=-e-x|x-0=-1，切线方程为：y=-x+1
所围成的封闭图形的面积为S=∫01[e-x-（-x+1）]dx=∫01（e-x+x-1）dx=（-e-x+1 2 x2-x)l 10 =1 2 -1 e ∫ 10 =1 2 -1 e（3）φ′（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：
由表可知，φ（x）极大=φ（2-a）=（4-a）ea-2
设μ（a）=（4-a）ea-2，μ′（a）=（3-a）ea-2＞，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）ea-2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．（14分）

Answer 2

1 Φ(x)在（-∞，0]，[1,+∞)递减，在[0,1]递增
2 s=∫e^(-x)+x-1 dxs =3/2
3 Φ'(x)=0
x=0或2-a
a=2,无极值
a<2,maxΦ(2-a）=3
求导（3-a)e^(a-2)=0,a=3不满足
a>2,maxΦ（0）=a=3成立