Question

[初三数学]请教一道中考题。

（2015·茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0<t<三分之十），连接MN。
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值。

Answer 1

巧了，我刚好也是初三，数学学霸一枚，那个啊同志，这题包括这一类求长度差最值的题目都是根据三角形三边关系来做的，就是两边之差小于第三遍，当勾不成三角形时差便为极值，换言之就是三点在一条直线上，这种方法无论是二次函数还是圆类题目都适用。好了，哔了这么多，希望对你有帮助，谢谢。

Answer 2

三角形ABC是一个典型的勾三股四弦五的直角三角形，当BM/BN=4/5或者5/4的时候，三角形BMN和三角形ABC相似。
BM=3t,BN=8-2t
1
(8-2t)/3t=5/4——(32-8t)=15t——32=23t
t=32/23
2
(8-2t)/3t=4/5——40-10t=12t——40=22t
t=40/22

以C为原点CA为y轴，CB为x轴建立直角坐标系。
N(2t.0)，M(a,b)
a=8-2.4t, b=1.8t
直线CM的方程为y/x=1.8t/(8-2.4t)
直线AN的方程为y/x=(0-6)/2t=-3/t
CM⊥AN的时候k1*k2=-1
[1.8t/(8-2.4t)](-3/t)=-1
[1.8t/(8-2.4t)](3/t)=1
5.4/(8-2.4t)=1
54.=8-2.4t
2.4t=2.6
t=2.6/2.4
思路应该没错。运算不敢保证，请复核一下。
前面那位网友认为AC=AM怕是根据不足。

追问

请问：
直线CM的方程为y/x=1.8t/(8-2.4t)
这是怎么得出来的？下面那个AN的方程我懂。

追答

M点沿BA方向的速度为3m/s
分解成水平方向2.4m/s竖直方向1.8m/s
我一开始就说明了这个直角三角形的三边比例为3：4：5
BA方向的速度为3m/s相当于5所以另外两个方向就分别是1.8和2.4啦。
如果不是这种特殊三角形，那么一开始就要想办法把三边比例搞出来。

Answer 3

1：因为△BMN与△ABC相似
（1）若以BM为斜边，则有BM/AB=BN/CN
BM=3*t，BN=8-2t
解得t=20/11
（2）若以BN为斜边，则BN/AB=BM/BC
解得t=32/23
2：由勾股定理的AB=10，
因为AN⊥CM，所以AC=AM，BM=10-6=4=3*t,
解得t=4/3，

追问

请问为什么当AN⊥CM时，AC=AM？
另外这题答案是13/12.