Question

在数列(an)中a1等于2 , a(n+1)等于4an-3n+1。证明(an-n)是等比数列；求数列an的前n项和Sn；证明不等...

在数列(an)中a1等于2 , a(n+1)等于4an-3n+1。证明(an-n)是等比数列；求数列an的前n项和Sn；证明不等式S(n+1)4小于等于Sn对任意n属于N皆成立。
麻烦把几个题都答一下麻烦把几个题都答一下

Answer 1

1.变形即为a(n+1)-(n+1)=4(an-n)，所以(an-n)是首项为1，公比为4的等比数列。
2.令an-n=bn，则Sbn=（4^n-1）/(4-1),即San-1-2-…-n=（4^n-1）/3，
所以San=（4^n-1）/3+（1+2+…+n）=（4^n-1）/3+n（1+n）/2

Answer 2

∴数列{an}的前n项和Sn=(1+4+4^2+…+4^n-1)+n(n+1)/ 2 =4^(n-1)/ 3 +n(n+1) /2
∴对于任意的n∈N*，
S(n+1)-4Sn=[4^(n+1)-1]/ 3 +(.n+1)(n+2) /2 -4(4n-1) /3 -4n(n+1)/ 2 =1+(n+1)(n+2-4n) /2 =(n+1)(-3n+2) /2 +1=(-3n^2-n+2)/ 2 +1=-1 /2 (3n^2+n-4)≤0
S(n+1)4小于等于Sn对任意n属于N皆成立

Answer 3

1.a(n+1)-(n+1)=4(an-n)，令bn=an-n 首项1，公比4
2.an=bn+n,Sn=（b1+...+bn)+(1+2+...+n)=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
3.Sn=(4^n-1)/3+n(n+1)/2；
S(n+1)/4-Sn=1/4-(n+1)(3n-2)/8<=1/4-1/4=0(n=1取等号）,问题得证！

Answer 4

a (n+1)=4an-3n+1
a(n+1)-(n+1)=4(an-n)
{an - n}是等比数列
an-n=4^(n-1)*(a1-1)=4^(n-1)
an=4^(n-1)+n
Sn=(4^n-1)/3＋n(n+1)/2
S(n+1)-Sn=a(n+1)=4^n+n+1<=4^n-1+3n(n+1)/2=3Sn
(因3n^2+n-4=(3n+4)(n-1)>=0)得证

Answer 5

题意：a(n+1)-(n+1)＝4(an-n),∴数列{an-n}是首项为1,公比为4的等比数列∴an-n=4^(n-1)
∴an=4^(n-1)+n
Sn=4^0+4^1+...+4^(n-1)+(1+2+...+n)
=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
不等式写清楚点