定积分定义
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料
定积分性质
1、当a=b时，
2、当a>b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
参考资料来源：百度百科—定积分
定积分定义：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。
可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 
如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
扩展资料：
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
一般定理：
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
参考资料：百度百科---定积分
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干分点，a=x0<x1<x2<...<xn=b
把区间[a,b]分成n个小区间，各个小区间的长度为Δxi=xi-x(i-1)（这里i-1为下标，而且i为小于等于n的正整数），在各个小区间上任取一点ξi(ξi∈Δxi)，做乘积f(ξi)Δx并做和∑(n,
i=1)f(ξi)Δx
记λ=max{Δx1,
Δx2...Δxn}，
如果不论多[a,b]如何分也不论ξi取Δxi中的何位置，只要当λ->0时，和S总趋于确定的极限，这个极限便是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为
解释：因为定积分可以看为一个曲边梯形的面积
将一个曲边梯形梯形的面积分为n个长方形计算，其中，每一个长方形的底为Δxi，该长方形的高通过对应法则（即y轴上的投影）为f(ξi)，则长方形的面积就应该是f(ξi)Δx，曲边梯形的面积近似值就是∑(n,
i=1)f(ξi)Δx
这时，如果我们取λ=max{Δx1,
Δx2...Δxn}中的最大值而且将它趋于零，意味着所有的元素都应该趋于零(最大值趋于零看成其他数值的低阶无穷小理解)，那么面积的值将越来越精确。（趋于零，这里长方形的宽越来越小（可以理解为有面积的线段之和）），根据极限的定义，可以写成一个和的极限形式，这便是定积分的概念
当Δxi越来越小的时候，面积表示越来越精确
此外，题主给出的题目答案为：-1/6,可以先求t(t-1)的原函数，即为(t^3)/3-(t^2)/2,代入积分上下线相减得到结果-1/6
这里使用到了牛顿莱布尼茨公式。如果要用定积分的定义求，会相对比较麻烦。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
。设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为
：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数
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