Question

一道简单的高数题。

设函数f(x)在区间〔0，1〕上连续，在（0，1）内可导，f(0)=f(1)=0，f(0.5)=1。试证(1)c属于(0.5，1)，f(c)=c;(2)对任意实数m，必存在t属于(0，c)，使得f'(t)-m[f(t)-t]=1。

Answer 1

令G(x)=f（x）-x。
第一问：G(1)=f(1)-1<0,G(0.5)=f(0.5)-0.5>0,根据零点定理，则在（0.5,1）内必有一点c满足G(c)=f(c)-c=0,故f(c)=c.
第二问：要证f'(t)-m[f(t)-t]=1，即证有一点t满足G(x)-mG(x)=0,利用辅助函数方法，设F(x)=exp(-mx)G(x),因为F(c)=F(0)=0,所以存在一点t在(0，c)使得F'（t）=-mexp(-mx)G(t)+exp(-mt)G’(t)=0,即得G'(t)=mG(t),问题得证