Question

n的阶乘分之2的n次方的极限 具体怎么求？

Answer 1

解：分享一种解法。用斯特林公式[当n→∞时，n!=√(2πn)(n/e)^n]替换，原式=lim(n→∞)(2^n)/(n!)=lim(n→∞)[1/√(2πn)](2e/n)^n=0。

拆成 Ln = (2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)…*(2/n)，这样 Ln 的分母就是n的阶乘，分子就是2的n次方。

显然对任意固定的n，这个乘积大于零；并且可以看到，从第三项开始，乘数就小于1了，并且后一个乘数总比前一个乘数小，于是可以放缩成 (0<) Ln < 2*(2/3)^{n-2}，取极限由夹逼定理可得lim Ln = 0。

定义范围

通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的（大多科学计算器只能计算 0～69 的阶乘），小数科学计算器没有阶乘功能，如 0.5！，0.65！，0.777！都是错误的。但是，有时候我们会将Gamma 函数定义为非整数的阶乘，因为当 x 是正整数 n 的时候，Gamma 函数的值是 n－1 的阶乘。

Answer 2

解：分享一种解法。用斯特林公式[当n→∞时，n!=√(2πn)(n/e)^n]替换，原式=lim(n→∞)(2^n)/(n!)=lim(n→∞)[1/√(2πn)](2e/n)^n=0。供参考。

Answer 3

拆成 Ln = (2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)…*(2/n)，这样 Ln 的分母就是n的阶乘，分子就是2的n次方。
显然对任意固定的n，这个乘积大于零；并且可以看到，从第三项开始，乘数就小于1了，并且后一个乘数总比前一个乘数小，于是可以放缩成 (0<) Ln < 2*(2/3)^{n-2}，取极限由夹逼定理可得lim Ln = 0