Question

y=（1+x）arctan（1/1-x²）求间断点的类型

Answer 1

解：y=(1+x)arctan[1/(1-x²)]=(1+x)arctan{1/[(1+x)(1-x)}
首先，令分母等于零，得间断点在x=-1和x=1两处。
当x=-1时，考虑其间断点类型。
当x->-1时，1+x ->0，而|arctan{1/[(1+x)(1-x)}|->π/2，一个趋于零的乘以一个有界的，故极限
lim (1+x)arctan[1/(1+x)(1-x)]=0
x->-1
也即其左右极限都存在，且极限值都为0。所以在x=-1处为第一类间断点，且为可去间断点。
当x=1时，考虑其间断点类型。
左极限
lim (1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1-
=2*lim arctan[1/(1-x²)]=2*π/2=π
x->1-

右极限
lim (1+x)arctan[1/(1-x²)]
x->1+
=2*lim arctan[1/(1-x²)]=2*(-π/2)=-π
x->1-
所以在x=1处也是第一类间断点，但因左右极限不相等，所以是跳跃间断点。