如何证明一个分段函数是连续函数
看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法） 然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。 分段点处的左极限用左边的函数式做， 分段点处的右极限用右边的函数式做。
通需判断段点左边及右边函数值否相等且等于该点函数值即：
比如：
x>=0，f(x)=x^2 1。
x<0，f(x)=sinx。
x=0 ，(即0点右边)，f(0 )=0 1=1。
x=0-，(即0点左边)，f(0-)=sin0=0。
两者等所x=0处连续。
也可以用导数极限进行判断。导数极限定理: 设函数f(x)在点a的某邻域U(a)内连续，在U(a)的空心邻域内可导，且当x--->a时,导函数的极限存在，那么：f(x)在点a处可导，且等于[x-->a时，f(x)的导函数的极限]。
扩展资料：
连续函数的性质定理：
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。
1、有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
)在[a,b]上有界 [1] 。
2、最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。
3、介值性
若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。
介值定理可以构造辅助函数来证明。
令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在[a,b]上连续。
不妨设A<C<B，则g(a)=f(a)-C=A-C<0，g(b)=f(b)-C=B-C>0，即g(x)在两端点处的函数值异号。根据零点定理，在开区间(a,b)上至少存在一点c，使g(c)=f(c)-C=0。∴f(c)=C，c∈(a,b)。
对于B<C<A的情况有完全相同的证法。
4、一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
参考资料来源：百度百科-连续函数
参考资料来源：百度百科-分段函数
然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。
分段点处的左极限用左边的函数式做，
分段点处的右极限用右边的函数式做。
高中数学——函数的连续性，分段函数一重要考虑点
