Question

拉普拉斯变换为什么能够求解微分方程能讲详细点吗

Answer 1

拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（枯嫌要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙，所以它就具有一些奇困败前特的特质），而且，这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域），故只要给定一个时域函数（信号），它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号），因而，只要我们对这个复频域信号进行处理，也就相当于对时域信号进行处理（例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a，则若我们对F(s)进行时延处理，得到信号F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要对F(s-z)进行反变换，就可以汪清得到f(t)e^zt）。
拉普拉斯变换被用于求解微分方程，主要是应用拉普拉斯变换的几个性质，使求解微分方程转变为求解代数方程（因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解）。
我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义。
关于特征根和复数，建议提问者再去看看书中的定义，应该不难理解。

Answer 2

拉普拉斯变换具有消除导数的能力。能将微分方程变成简单的加减乘除运算。因此，用拉普拉坦岁斯变换来求解某些微分方程式很方便的迅信局。
例如: y'(x)+y(x)=e^x,
sY(s)+Y(s)=1/(s-1)+y(0)
Y(s)=1/(s²-1)+y(0)/(s+1)
y(x)=1/亩让2e^x+C e^(-x))

Answer 3

还是没有回答问题啊，我知道它是可以简化运棚档算，可是为什么啊？兆虚为什么所有的微分方程都要跟e的指数有关？这才是拉氏变换可以用于解微分方程的原因：拉氏变换是一个以e的族和燃指数衰减的积分变换，而目前在教学中接触的初等微分方程的解一般都是e的指数，所以才能用拉氏变换简化。更复杂的方程要么解起来很难要么根本不可解，对那些方程拉氏变换已经没用了。