Question

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Answer 1

【第6题中,μ=y是积分因子，方程两边乘以此因子后，可使原方程变为全微分方程。】

 2.证明∣arctana-arctanb∣≦∣a-b∣

证明：不失一般性，设a>b.

作函数y=arctanx，该函数在区间[b，a]内连续可导，因此依中值定理，有：

arctana-arctanb=(a-b)f'(ξ)，b<ξ<a

y=arctanx是增函数，所以f'(ξ)>0，显然，arctana-arctanb>0；a-b>0；f'(ξ)>0;

0<f'(ξ)=1/(1+ξ²)≦1;当取f'(ξ)=1时显然有不等式：arctana-arctanb≦(a-b)；

当a<b，时arctana-arctanb<0；a-b<0；0<f'(ξ)=1/(1+ξ²)≦1；

于是有不等式：0>arctana-arctanb≧a-b，两边同乘以-1，不等号反向，相当于两边取绝对值。即有∣arctana-arctanb∣≦∣a-b∣