Question

λ为何值时，下列非齐次方程组有唯一解、无解和无限多解？在有无限多解时，求出通解。

Answer 1

2-λ 2 -2 1
2 5-λ -4 2
-2 -4 5-λ -λ-1

第2行加上第3行，得到
2-λ 2 -2 1
0 1-λ 1-λ 1-λ
-2 -4 5-λ -λ-1

第3行加上第1行的2倍，得到
2-λ 2 -2 1
0 1-λ 1-λ 1-λ
2-2λ 0 1-λ 1-λ

因此若λ=1，则上面矩阵是
1 2 -2 1
0 0 0 0
0 0 0 0

令x3=0，x2=1，解得x1=-1
令x3=1，x2=0，解得x1=3

则基础解系是(-1 1 0)T (3 0 1)T
通解是k1(-1 1 0)T+k2(3 0 1)T
其中k1，k2是不全为0的常数

若λ不等于1，则上面矩阵，可继续化成（第2、3行除以公因子1-λ）
2-λ 2 -2 1
0 1 1 1
2 0 1 1

第1行减去第2行的2倍，得到
2-λ 0 -4 -1
0 1 1 1
2 0 1 1

此时若2-λ=-8（也即λ=10），则无解（A的秩等于2，而A|b的秩等于3）

因此λ不为10，此时有唯一解，用克莱默法则来解即可。
也可以直接使用初等行变换，来求解

对增广矩阵Ab进行初等行变换，化成Ic (左3列构成单位矩阵)
c就是方程组的解