Question

求函数f(x,y)=2x+y在约束方程x^2+4y^2=1下的最大值与最小值

Answer 1

高数用拉格朗日乘数法，但运算量太大.
用初等数学方法更简洁:

(1)方法一(柯西不等式法)
依柯西不等式得
1=x²+4y²
=(2x)²/4+y²/(1/4)
≥(2x+y)²/(4+1/4)
∴-√17/2≤2x+y≤√17/2.
即所求最大值√17/2;
所求最小值为-√17/2.

(2)方法二(三角代换法)
依约束条件，可设
x=cosθ，y=(1/2)sinθ.
∴2x+y
=2cosθ+(1/2)sinθ
=(√17/2)·sin(θ+φ)
(其中，tanφ=4)
∴sin(θ+φ)=1时，
所求最大值为√17/2;
sin(θ+φ)=-1时，
所求最小值为-√17/2。

追问

能不能用那个L(x,y,u)=2x+y+u(x^2+4y^2-1)
这一类的，老师要求，拜托了，其他的还没学

追答

当然可以用你说的方法!这就是我说的高等数学方法，即拉格朗日乘数法。你只学过高等数学没有学过初等数学?!用高数方法虽然不用花脑筋直接套用，但求驻点过程运算量实在太大。用初等数学解高数题目，无论是技巧性还是灵活性都比高数方法强得多!初等数学方法除了我举的二种外，还可用判别式法。