Question

设函数f(x)=in(x十1)十a(x^2一x),其中a属于r

设函数f(x)=in(x十1)十a(x^2一x),其中a属于r

Answer 1

请问是否是这题？
设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．
f′(x)＝1x+1+2ax-a=2ax2+ax-a+1x+1． 令g（x）=2ax2+ax-a+1．
（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a＞0时，△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．
①当0＜a≤89时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．
②当a＞89时，△＞0，设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；
当0≤a≤89时，函数f（x）无极值点；
当a＞890时，函数f（x）有两个极值点． （II）由（I）可知：
（1）当0≤a≤89时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（2）当89＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（1＜x2．
∵x1+x2=-12，
∴x1＜-14，x2＞-14．
由g（-1）＞0，可得-1＜x1＜-14． ∴当x∈（-1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0时，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得-1＜x1＜-14． ∴当x∈（-1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当）＞0，符合题意．
（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，
∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a＜0时，设h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=xx+1＞0． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x，
当x＞1-1a时， ax2+（1-a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．