Question

高等数学，第5题的(1)(2)(3)小题怎么做，需要详细过程。急

Answer 1

解：
1）
根据题意，可得：
x²+2y²+3(x²+y²)²=20
对上式求微分：
2xdx+4ydy+6(x²+y²)(2xdx+2ydy)=0
因此：
dy/dx
=-[6(x²+y²)+x]/[2y+6(x²+y²)]
又因为，原式可以带入z=x²+y²，则：
z+y²+3z²=20
因此：
2z-x²+3z²=20
对上式求微分：
2dz-2xdx+6zdz=0
因此：
dz/dx
= x/(3z+1)
2)
将x,y看成含有u和v的函数，即：
x=x(u,v)
y=y(u,v)
对原式求关于u的偏导数，则：
2u-2x·(∂x/∂u)-2y·(∂y/∂u)=0
1+(∂x/∂u)·y+x·(∂y/∂u)=0
因此：
∂y/∂u
= (uy+x)/(y²-x²)
∂x/∂u
= [(xyu+x)/y(x²-y²)] - 1
3)
根据题意：
对原式求关于x的导数，则：
1=(e^u)·(∂u/∂x)+(∂u/∂x)·sinv+ucosv·(∂v/∂x)
0=(e^u)·(∂u/∂x)-(∂u/∂x)·cosv+usinv·(∂v/∂x)
∂u/∂x
=sinv/[sinv(e^u+sinv)-cosv(e^u - cosv)]
∂v/∂x
=[sinv·(e^u-cosv)]/{ucosv·[cosv(e^u - cosv)-sinv(e^u+sinv)]}
对原式求关于y的导数，则：
0=(e^u)·(∂u/∂y)+(∂u/∂y)·sinv+ucosv·(∂v/∂y)
1=(e^u)·(∂u/∂y)-(∂u/∂y)·cosv+usinv·(∂v/∂y)
∂u/∂y
=cosv/[cosv(e^u - cosv)-sinv(e^u + sinv)]
∂v/∂y
=cosv·(e^u+sinv) /{ucosv·[sinv(e^u + sinv)-cosv(e^u - cosv)]}