Question

若函数f(x)=2m(lnx十x)一x2有唯一零点，求m的范围

Answer 1

f(x)=2m(lnx+x)-x² 定义域x>0
f'(x)=2m(1/x+1)-2x
=(2m+2mx-2x²)/x
分子2m+2mx-2x²，抛物线开口向下
当Δ=4m²+16m<0，即-4<m<0时
分子2m+2mx-2x²恒小于0，f'(x)<0 f(x)单调递减，有唯一的零点
Δ>0
①m≤-4 驻点x=m±√(m²+4m)/2<0 不在定义域内
∴f'(x)<0 f(x)单调递减，有唯一的零点
②m=0 f(x)=-x²<0 无零点
③m>0 定义域内存在极大值点x₀=[m+√(m²+4m)]/2
当极大值2m(lnx₀+x₀)-x₀²=0 时，有唯一的零点
m=0.5 [f(x)=lnx+x-x²]
∴m∈(-∞,0)∪[0.5]

Answer 2

f(x)=2m(lnx+x)-x²
定义域x>0
f'(x)=2m(1/x+1)-2x
=(2m+2mx-2x²)/x
分子2m+2mx-2x²，抛物线开口向下
当Δ=4m²+16m<0，即-4<m<0时
分子2m+2mx-2x²恒小于0，f'(x)<0
f(x)单调递减，有唯一的零点
Δ>0
①m≤-4
驻点x=m±√(m²+4m)/2<0
不在定义域内
∴f'(x)<0
f(x)单调递减，有唯一的零点
②m=0
f(x)=-x²<0
无零点
③m>0
定义域内存在极大值点x₀=[m+√(m²+4m)]/2
当极大值2m(lnx₀+x₀)-x₀²=0
时，有唯一的零点
m=0.5
[f(x)=lnx+x-x²]
∴m∈(-∞,0)∪[0.5]