Question

线性代数 矩阵

Answer 1

先求特征值
|λI-A| =
λ-1 -2 -2
-2 λ-1 -2
-2 -2 λ-1
=

λ+1 -1-λ 0
-2 λ-1 -2
0 -1-λ λ+1

=（λ+1）*

λ+1 -1-λ 0
-2 λ-1 -2
0 -1 1

=（λ+1）*

λ+1 -1-λ 0
-2 λ-3 0
0 -1 1

=（λ+1）(λ+1)(λ-5)

=0
解得λ=-1（两重）或5

将特征值-1代入特征矩阵
-2 -2 -2
-2 -2 -2
-2 -2 -2

解方程，解得基础解系：
(1 0 -1)T 【1】
(1 -2 1)T 【2】

将特征值5代入特征矩阵
4 -2 -2

-2 4 -2

-2 -2 4

解方程得基础解系：

(1 1 1)T 【3】

显然【1、2、3】三个解向量是正交的。

因此得到可逆矩阵P，使得
P^-1AP=diag(-1,-1,5)
其中P=
1 1 1
0 -2 1
-1 1 1

P^-1=

1/2 0 -1/2

1/6 -1/3 1/6
1/3 1/3 1/3

因此，
A^100=

(Pdiag(-1,-1,5)P^-1)^100
=Pdiag(-1,-1,5)^100P^-1
=Pdiag(1,1,5^100)P^-1
=

-1 -1 5^100
0 2 5^100
1 -1 5^100

*
1/2 0 -1/2

1/6 -1/3 1/6
1/3 1/3 1/3

=
(5^100-2 )/3 (5^100+1 )/3 (5^100+1 )/3
(5^100+1 )/3 (5^100-2 )/3 (5^100+1 )/3
(5^100+1 )/3 (5^100+1 )/3 (5^100-2 )/3