Question

这道题用洛必达法则怎么算呢，帮忙写一下详细步骤吧，太感谢了

Answer 1

　　解：原式=e^[lim(x→0)xln(2^x-1)]。
　　而lim(x→0)xln(2^x-1)=lim(x→0)[ln(2^x-1)]/(1/x)，属“∞/∞”型，用洛必达法则，
　　有lim(x→0)[ln(2^x-1)]/(1/x)=lim(x→0)[(ln2)(2^x)/(2^x-1)]/(-1/x^2)=-lim(x→0)[(ln2)x^2+2x]=0，
　　∴原式=e^0=1。供参考。

追问

最后一步为什么加2x呢？

追答

　　是用洛必达法则，运算后的结果，不是“硬”加上去的。
　　过程是，(2^x)/(2^x-1)]/(-1/x^2)=-(x^2)(2^x)/(2^x-1)，是“0/0”型，再用洛必达法则，[(x^2)(2^x)]'=(x^2)(ln2)(2^x)+(2x)2^x，[(2^x-1)]'=(ln2)2^x。∴二者的比值为[(x^2)(ln2)+2x]/ln2。供参考。