Question

设函数f(x)=mx^2-mx-1,若对于m∈[1，3]，f(x)＜-m+5 恒成立，求x的取值范围。

Answer 1

f(x)<-m+5等价于m(x^2-x+1)-6<0对m在1到3内恒成立 令K=(x^2-x+1) 则原不等式化为km-6<0在m属于1到3内恒成立，对于直线y=k*m-6 恒经过(0,-6)这点，若直线要在m属于1到3内恒在y=0的下方，你可以看到当它经过(3,0)点时是个临界条件，故只需斜率小于2 解得x>(1-sqrt(5))/2并且x<(1+sqrt(5))/2 （其中sqrt(5)为根号5）
你看下是不是咯，好久没做过这类题了，主要是换变量的思想即把m看成变量x看成常量

Answer 2

mx^2-mx-1<-m+5
m(x^2-x+1)<6
∵x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0
∴m<6/(x^2-x+1)
∵m∈[1，3]
∴3<=m<6/(x^2-x+1)
∴(1-√5)/2<x<(1+√5)/2