Question

求由平面x=0,y=0,x+y=1所围城的柱面被平面z=0,及抛物面x²+y²=6－z结的的立体

的体积。

Answer 1

先分析各图形的关系及其在xoy平面上的投影。(1)抛物面是开口朝下的，其在xoy的截面是半径为2的圆，圆心为O。(2)x＝0~1,y＝0~1是个正方形的柱面(3)y＝3z，是个过x轴的斜面，其和抛物面的交线在xoy上的投影是：x²＋y²＝4－y/3该投影是个圆，并且包含了前面第(2)条所说的正方形。(4)根据上述分析，所求几何体实际就是抛物面之下，斜面之上的空间被正方形柱面所截的体积。V＝∫[0,1]dx∫[0,1](4-x²-y²-y/3)dy＝∫[0,1]dx(4y-x²y-y³/3-y²/6)|[0,1]＝∫[0,1](4-x²-1/2)dx＝4-1/3-1/2＝19/6