证明x^5+x-1=0只有一个正根
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可以用导数的知识来证明,证明如下:
设f(x)=x^5+x-1,则:
f(x)'=5x^4+1,当x取任意实数,都有5x^4+1>0。
所以:
f(x)为增函数。
又因为f(0)=0+0-1=-1<0。
所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点,且这个交点在x=0的右边。
即:
x^5+x-1=0只有一个正根,得证。
扩展资料:
导数与函数的性质
单调性
(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。
根据微积分基本定理,对于可导的函数,有:
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零),那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减),这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点,在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点)。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点,如果存在使得在之前区间上都大于等于零,而在之后区间上都小于等于零,那么是一个极大值点,反之则为极小值点。
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可以用导数的知识来证明,主要步骤如下:
设f(x)=x^5+x-1,则:
f(x)'=5x^4+1,当x取任意实数,都有5x^4+1>0.
所以:
f(x)为增函数。
又因为f(0)=0+0-1=-1<0.
所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点,且这个交点在x=0的右边。
即:
x5+x-1=0只有一个正根,得证。
设f(x)=x^5+x-1,则:
f(x)'=5x^4+1,当x取任意实数,都有5x^4+1>0.
所以:
f(x)为增函数。
又因为f(0)=0+0-1=-1<0.
所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点,且这个交点在x=0的右边。
即:
x5+x-1=0只有一个正根,得证。
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x^5-1=(x-1)(x^4+x³+x²+x+1)=0
显然x=1是一个实根
因此只要证明x^4+x³+x²+x+1=0没有实根即可.
当x=0时,上式左右两边不等,因此x=0不是方程的根
当x≠0时,对上式左边进行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)
=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]
∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,当且仅当x=1/x,即x=±1时取等号.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4
即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考虑x=0时左边=1>0,可知对任意实数x,x^4+x³+x²+x+1>0恒成立
即x^4+x³+x²+x+1=0无实根
∴原方程有且只有一个实根.
显然x=1是一个实根
因此只要证明x^4+x³+x²+x+1=0没有实根即可.
当x=0时,上式左右两边不等,因此x=0不是方程的根
当x≠0时,对上式左边进行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)
=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]
∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,当且仅当x=1/x,即x=±1时取等号.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4
即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考虑x=0时左边=1>0,可知对任意实数x,x^4+x³+x²+x+1>0恒成立
即x^4+x³+x²+x+1=0无实根
∴原方程有且只有一个实根.
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推荐于2017-12-16
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y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0 y=-1
当x=1 y=1
所以 在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根
很高兴为你解答有用请采纳
y′=5x^4+1>0
所以 函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0 y=-1
当x=1 y=1
所以 在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根
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利用函数的单调性证明,最为直观
设f(x)=x∧5+1
则 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5+1在R上单调递增
∵f(-2)<0; f(1)>0
∴必存在一点a∈[-2,1],使f(a)=0
∴x∧5+1=0只有一个实数根
设f(x)=x∧5+1
则 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5+1在R上单调递增
∵f(-2)<0; f(1)>0
∴必存在一点a∈[-2,1],使f(a)=0
∴x∧5+1=0只有一个实数根
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