Question

证明x^5+x-1=0只有一个正根

Answer 1

可以用导数的知识来证明，证明如下：

设f(x)=x^5+x-1，则：

f(x)'=5x^4+1，当x取任意实数，都有5x^4+1>0。

所以：

f(x)为增函数。

又因为f(0)=0+0-1=-1<0。

所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点，且这个交点在x=0的右边。

即：

x^5+x-1=0只有一个正根，得证。

扩展资料：

导数与函数的性质

单调性

（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。

进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

Answer 2

　　可以用导数的知识来证明，主要步骤如下：
　　设f(x)=x^5+x-1,则：
　　f(x)'=5x^4+1，当x取任意实数，都有5x^4+1>0.
　　所以：
　　f(x)为增函数。
　　又因为f(0)=0+0-1=-1<0.
　　所以增函数f(x)必定与x轴有且只有一个交点，且这个交点在x=0的右边。
　　即：
　　x5+x-1=0只有一个正根，得证。

Answer 3

x^5-1=(x-1)(x^4+x³+x²+x+1)=0
显然x=1是一个实根
因此只要证明x^4+x³+x²+x+1=0没有实根即可.
当x=0时,上式左右两边不等,因此x=0不是方程的根
当x≠0时,对上式左边进行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)
=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]
∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,当且仅当x=1/x,即x=±1时取等号.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4
即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考虑x=0时左边=1>0,可知对任意实数x,x^4+x³+x²+x+1>0恒成立
即x^4+x³+x²+x+1=0无实根
∴原方程有且只有一个实根.

Answer 4

y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函数单调增所以与x轴至多有一个交点
当x=0 y=-1
当x=1 y=1
所以 在(0,1)内有一个值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一个正根
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Answer 5

利用函数的单调性证明，最为直观
设f(x)=x∧5＋1
则 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5＋1在R上单调递增
∵f(-2)＜0； f(1)＞0
∴必存在一点a∈[-2,1]，使f(a)=0
∴x∧5＋1=0只有一个实数根