Question

求二重积分的计算。

Answer 1

答：1 - π/2

这个有点复杂，看这分母，用极坐标方便

看这分子和积分区域，用直角坐标方便

那唯有在直角坐标下逐个积分吧

∫∫_(D) (x²-xy-y²)/(x²+y²) dxdy

= ∫(0,1) dy ∫(-y,y) (x²-xy-y²)/(x²+y²) dx

先对x积分，把y视为常数，得

∫ (x²-xy-y²)/(x²+y²) dx

= x+2yarctan(y/x)-(y/2)ln(x²+y²)

再代入积分限x=-y到x=y，得

∫(-y,y) (x²-xy-y²)/(x²+y²) dx = (2-π)y

再对y，在y=0到y=1上积分

得结果(2-π)*1/2 = 1 - π/2

图像如下：

Answer 2

二重积分的计算方法

Answer 3