Question

对偶原理的现代控制理论中的对偶原理

Answer 1

在自动控制论中，有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。
自动控制域中的能控与能观的特点见相关章节，本例不在赘述
设系统为Sys1(A,B,C)，则Sys2(AT,CT,BT）就是Sys1的对偶系统。其动态方程应该满足如下标准形式：
Sys1:x'=Ax+BUy=Cx
Sys2:z'=ATz+CTvw=BTz
其中 x,z是n维状态向量 u,w是p维向量；y，v均为q维向量。
显然，依据此定义，可以知道，若Sys1是Sys2的对偶系统，则Sys2也是Sys1的对偶系统。
两者间有如下特点：
Sys1的可控性矩阵与Sys2的可观测性矩阵完全相同，而Sys1的可观测性矩阵又与Sys2的可控性矩阵完全相同！
正因为如此简单的对偶关系，我们可以把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题 化为 将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入-单输出系统的动态方程为：
x'=Ax+BUy=Cx
且该系统可观测，但A，C不是能观标准型。那么，其对偶系统动态方程为
z'=ATz+CTvw=BTz
对偶就一定可控，但不是可控标准型。解决办法是可以利用已知的，化为可控标准型的步骤，先将对偶系统化为可控标准型。再一次利用对偶原理，立即得到能观标准型。
具体解决步骤：
1列出对偶可控性矩阵
V2=[CTATCT... （AT）n-1CT ]
2求V2矩阵的逆阵
V2-1=[v1 v2 ... vn]T
3取V2-1第n行构造矩阵P
4依据对偶原理得：
PT=[VnAVn...An-1Vn]

Answer 2

在自动控制论中，有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。自动控制域中的能控与能观的特点见相关章节，本例不在赘述。设系统为sys1(a,b,c)，则sys2(at,ct,bt）就是sys1的对偶系统。其动态方程应该满足如下标准形式：sys1:x'=ax+buy=cx。sys2:z'=atz+ctvw=btz。其中 x,z是n维状态向量 u,w是p维向量。y，v均为q维向量。显然，依据此定义，可以知道，若sys1是sys2的对偶系统，则sys2也是sys1的对偶系统。两者间有如下特点：sys1的可控性矩阵与sys2的可观测性矩阵完全相同，而sys1的可观测性矩阵又与sys2的可控性矩阵完全相同。正因为如此简单的对偶关系，我们可以把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题 化为 将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入-单输出系统的动态方程为：x'=ax+buy=cx。且该系统可观测，但a，c不是能观标准型。那，其对偶系统动态方程为。z'=atz+ctvw=btz。对偶就一定可控，但不是可控标准型。解决办法是可以利用已知的，化为可控标准型的步骤，先将对偶系统化为可控标准型。再一次利用对偶原理，立即得到能观标准型。具体解决步骤：1列出对偶可控性矩阵。v2=[ctatct... （at）n-1ct ]。2求v2矩阵的逆阵。v2-1=[v1 v2 ... vn]t。3取v2-1第n行构造矩阵p。4依据对偶原理得：pt=[vnavn...an-1vn]。