Question

关于函数一直连续性的含义

刚学微积分，总是不太明白函数的一致连续性。“当自变量变化很小时，函数值的变化也要很小”，那是不是说，表现在函数的图像上的话就是函数的导数不能取到正无穷？比如y＝x^2，当x很大时，导数就会趋于正无穷，因而不一一致连续；而y＝sin x的导数最大只有1，所以就取δ>1即可？

Answer 1

你的这种说法是错的。“当自变量变化很小时，函数值的变化也要很小”，是告诉你自变量 Δx很小时，Δy的变化也很小。这种很小说得有些含糊，往后还要学“高阶无穷小”，如果Δx是Δy的高阶无穷小、那么函数的导数在那点是∞的。如果Δy是Δx的高阶无穷小、那么函数的导数在那点是0的。你所举的“y＝x^2当x很大时，导数就会趋于正无穷”这和“当自变量变化很小时，函数值的变化也要很小”是不矛盾的，x在很小的变化方位内，y 的变化也是很小的；而x如果在整个区间变化，y的变化也是整个区间。但是y＝sin x和y＝x^2是不一样的，因为y＝sin x，定义域是R
但是值域是[-1、1]其导数是y=cos x 定义域是R， 值域是[-1、1]。按照一致连续定义y＝sin x和y＝x^2，在R上是一致连续的。（你可参考一致连续定理）

Answer 2

一致连续与连续的差别是：
一致连续: 对给定 ε>0, 可以找到普适的δ>0,
连续: 对给定 ε>0, 对每个x,能找到一个δ>0, 而这个 δ的选择可能依赖x. 比如 f(x)=x^2, x越大， δ就得越小。于是找不到普适的δ。

“而y＝sin x的导数最大只有1，所以就取δ>1即可？”
不成立。 正确说法是：而y＝sin x的导数最大只有1，所以就取δ>1×ε=ε即可。

前面三位的说法都有错误：

“表现在图像上应该是平滑曲线 没有折角 ”
错误。例如： f(x) = |x| 在 R上一致连续

“如果函数导数存在，则函数一致连续 等价于 函数的导数有界。”
错误。 例如：f(x) = xsin1/x, 在 0<x<1上一致连续,但导数无界。

“按照一致连续定义y＝sin x和y＝x^2，在R上是一致连续的。”
错误。 y＝x^2，在R上不是一致连续的。

Answer 3

一致连续跟导数没有直接的关系。
比如y=|sinx|在与x轴交点处都是不可导的，但是一致连续。
如果函数导数存在，
则函数一致连续 等价于 函数的导数有界。
有个更强的定理：
连续函数f(x)在（a,b)上一致连续的充要条件是
右极限f(a+)及左极限f(b-)都存在。
这里的a,b可以是-∞，或者+∞

Answer 4

表现在图像上应该是平滑曲线 没有折角