Question

f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<-1,f(x+1)=-x²+2x+2。写出f(x)解析式

Answer 1

f(x)是定义在R上的奇函数
f(x)=-f(-x) 当x=0时，f（0）=-f（-0）=-f（0） 所以 f（0）=0
(1)当x<-1,f(x+1)=-x²+2x+2
令y=x+1 则 y<0, x=y-1 带入上式
f(y)=-(y-1)*(y-1)+2*(y-1)+2 所以 f（y）=-y²+4y-1
用x来表示为 当x<0时，f（x）=-x²+4x-1
(2)f(x)是定义在R上的奇函数
f(x)=-f(-x)
令x>0 则有f（x）=-f(-x)=-[-(-x)(-x)+4(-x)-1]=x²+4x+1
所以：
x>0, x²+4x+1
f（x）= x=0, 0
x<0,-x²+4x-1

Answer 2

f(x+1)=-x²+2x+2
=-(x^2+2x+1)+4x+4-1
=-(x+1)^2+4(x+1)-1
f(x)=-x^2+4x-1