Question

已知函数y=log0.5（x+8-a/x）在区间【1,正无穷）上单调递减，求实数a的取值范围

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Answer 1

函数y=log0.5x递减,已知函数y=log0.5（x+8-a/x）在区间【1,正无穷）上单调递减，由复合函数的单调性知，x+8-a/x在区间【1,正无穷）单调递增且必须满足是正数，设x1<x2是区间【1,正无穷）内的任意值，设f(x)=x+8-a/x,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+a/x1x2)由于f(x)在【1,正无穷）上单增，只需满足1+a/x1x2>0即可即a>-x1x2,而-x1x2的最大值是-1，所以a>-1
f(x)=x+8-a/x在【1,正无穷）上大于0，等价于g(x)=x^2+8x-a(f(x)通分即可）在【1,正无穷）上大于0,只需满足g(-1)>0即可解得a<9
综上所述，-1<a<9

Answer 2

x∈[1,+∞）时，y′＝-x/[（x²+8x-a）㏑2]＜0

∴x²+8x-a＞0,（x+4）²-16＞a,左边最小为（1+4）²-16＝9。∴a＜9。

Answer 3

y=log0.5（x+8-a/x）,
外层y=log0.5t递减，所以内层t=x+8-a/x在【1,正无穷）上必须递增且恒大于0。
求导t'=1+a/x²≥0，a≥-x²，-x²在【1,正无穷）的最大值是-1，
所以a≥-1。
x+8-a/x在【1,正无穷）上恒大于0，它的最小值恒大于0即可。
1+8-a>0,a<9.
综上知-1≤a＜9。