Question

如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AC=6,BD=8,∠AOD=65°,点E在BO上，AF平行CE交BD于点F。

（1）请说明四边形AFCE是平行四边形；
（2）当点E在边BO上移动时，平行四边形AFCE是否成为矩形？若能，此时BE的长等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由；
（3）当点E在边上移动时，平行四边形AFCE是否成为菱形？若能，此时BE的长等于多少（直接写出结果）？若不能，请说明理由；

Answer 1

解：（1）设点E在BO中点上，AF平行CE交BD中点于点F。

证明：∵四边形ABCD是平行四边形。

∴AO＝CO，BO＝DO（对角线平分）

∵对角相等。

∴∠BOC＝∠AOD

∵点E在BO中点上，AF平行CE交BD中点于点F。

∴BE＝EO，DF＝FO，BO＝DO

即EO＝FO

又∵AO＝CO，∠BOC＝∠AOD

∴△AFO≌△CEO

∴AF＝CE

又∵AF‖CE

∴四边形AECF是平行四边形

(2)∵四边形ABCD是平行四边形。AC＝6，BD＝8。
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝4（对角线平分）

∵矩形对角线相等。

∴AC＝EF＝6

∴AO＝EO＝3

∵BE＝BO－EO

∴BE＝4－3＝1

(3)已知角AOD=65度，所以AC与BD不互相垂直

假设AC⊥BD，则BE的长的取值范围等于0≤X＜4。

当BE＝0时，菱形AFCE即为菱形ABCD。

如果BE＝4，即菱形AFCE不存在。