Question

如图,正方形ABCD的边长为a,E为边CD上一动点,连结AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F

如图,正方形ABCD的边长为a,E为边CD上一动点,连结AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F（1）求证PA=PF 小明给出了以下证明思路：过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，只要证明△PAM≌△PFN即可得证。请你帮小明完成证明过程。（2）过点F作FQ⊥BD于点Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律。（3）请你写出线段AB，BF，BP之间满足的数量关系，不必说明理由。

Answer 1

方法(一)
过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N,易知,四边形PMBN是正方形(邻边相等的矩形)
∴PM=PN=MB=BN
又AB=BC,AB=AM+BM,BC=BN+CN
AM+MB=BN+CN,
∵MB=BN
∴AM=CN,
∵PM=PN,∠AMP=∠PNF=90 ,AM=CN
∴RT△PAM≌RT△PFN(SAS)
∴PF=AP
方法(二)
连接PC,点A和点C关于DB对称,所以有,AP=PC
∴RT△ADE≌RT△PCD(SAS)
∴∠DAE=∠PCD
∵∠PAB=90-∠DAE,∠PCF=90-∠PCD,∠DAE=∠PCD
∴∠PAB=∠PCF
在四边形ABFP中
∵∠ABF=∠APF=90
∴∠PAB+∠PFB=180,
∵∠PFC+∠PFB=180,∠PAB+∠PFB=180,
∠PFC+∠PFB=∠PAB+∠PFB
∴∠PFC=∠PAB
又∠PAB=∠PCF,∠PFC=∠PAB
∴∠PCF=∠PFC
∴PF=PC
∵AP=PC
∴PF=AP
2)PQ长度不变,PQ=√2/2*a
过点A作AG⊥BD于点G
∵∠ABP=45,∠AGB=90
∴∠ABP=∠BAG=45,
∴AG=BG=√2/2*AB=√2/2*a
∵∠PAG+∠APG=90,∠FPQ+∠APG=∠FPF=90,
∠PAG+∠APG=∠FPQ+∠APG
∴∠PAG=∠FPQ
∵∠AGP=∠FQP=90 ,∠PAG=∠FPQ,AP=PF
∴RT△PAG≌RT△PQF(AAS)
∴PQ=BG
∵BG=√2/2*a
∴PQ=√2/2*a
3)AB+BF=√2PB