Question

线性代数证明题

线性代数证明题设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，x是n×1矩阵，证明：AB=0的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解

Answer 1

充分性：
B的每一列(B1,B2,...Bs)都是齐次线性方程组Ax=0的解，

则AB1=0,AB2=0,...ABs=0
则AB=A(B1,B2,...,Bs)=(AB1,AB2,...,ABs)=(0,...,0)=0

必要性：
AB=0，则
AB=A(B1,B2,...,Bs)=(AB1,AB2,...,ABs)=(0,...,0)=0
因此AB1=0,AB2=0,...ABs=0
则B的每一列(B1,B2,...Bs)都是齐次线性方程组Ax=0的解