Question

求圆的一般方程

圆C过点A（1,2）、B（3,4），且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程
我是在坐标系上用勾股定理 得三元一次方程求的 不好算 有没有简便的方法

Answer 1

详情参考
http://wenku.baidu.com/view/433368c608a1284ac85043e0.html

一、已知圆心和半径
─
公式法
例1圆心C（-3,4），半径为
【参考答案
】
变式1：已知圆心和圆上一点
例2已知圆心C（8，-3），且经过点M（5,1）
解：

所求圆的方程是
变式2：已知圆的一条直径的两个端点
例3已知A(－4，－5)、B(6，－1)，求以线段AB为直径的圆的方程【参考答案(x－1)
2
＋(y＋3)
2
＝29】
总结归纳：圆的标准方程是
二、已知圆上两点和半径
例4在轴上的截距为-1和9，且半径为13
解法1：由题意得，所求圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）

则弦AB的中垂线方程为
，所以设圆心坐标为C（4，b）

解得

所求方程为(x－4)
2
＋(y±12)
2
＝169
解法2：（待定系数法）设圆的方程为

因为圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）

解得
或

所求方程为(x－4)
2
＋(y±12)
2
＝169

三、已知圆上两点且圆心在一条直线上
例5圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，
圆心在直线2x－y－4＝0上，求圆的方程。

解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即
x－3y＋3＝0
由　得
即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.
∴圆的方程是(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝20.
解法2：∵圆心在直线2x－y－4＝0上，故可设圆心坐标为C(x
0,
2x
0
－4)，
∵A，B在圆上，∴|CA|＝|CB|
=
解得
所以C（3,2）
∴圆的方程是(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝20.
解法3：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
则⇒
∴圆的方程为：(x－3)
2
＋(y－2)
2
＝20.
归纳总结：当圆心在一条直线上时，可以用一个未知数设出圆心坐标，从而减少未知数个数，简化计算。

四、已知三点
例6设P(0,0)、Q(5,0)、R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆方程
解：由题意知△PQR是直角三角形．
又|QR|＝＝13，内切圆的半径是r
1
＝＝2，其圆心为C
1
(2，－2)．
∴内切圆方程是(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝4，
外接圆半径r
2
＝，圆心为C
2
.
∴外接圆的方程为
2
＋(y＋6)
2
＝.
已知三个点可采用待定系数法和与类型三相同的解法
。

Answer 2

Answer 3

直接法
由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。
例1 已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得 。
（1）当x≤3时，方程变为 ，化简得 。
（2）当x3时，方程变为 ，化简得 。
故所求的点P的轨迹方程是 或 。
二、定义法
由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。
例2 已知圆 的圆心为M1，圆 的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得： ， 。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为 。
三、待定系数法
由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。
例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为 。将y=x－1代入方程整理得 。
由韦达定理得 。又有 ，联立方程组，解得 。
∴此双曲线的方程为 。
四、参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。
例4 过原点作直线l和抛物线 交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交，所以△0，解得 。
设A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得 。
由 消去k得 。
又 ，所以 。
∴点M的轨迹方程为
我只有这四种，应付高中数学足够了