Question

若函数f(x)=x-1/3sin2x+asinx在(-∝,+∝)单调递增 求a的取值范围

若函数f(x)=x-1/3sin2x+asinx在(-∝,+∝)单调递增 求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=1-(2/3)cos2x+acosx
=1-(2/3)(2cos²x-1)+acosx
=-(4/3)cos²x+acosx+(5/3)
设t=cosx
f'(x)=g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3),-1≤t≤1
g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3)是一个开口向下的二次函数
得 f(x)在在(-∞,+∞)上递增(是增函数)的充要条件是:
g(t)≥0在-1≤t≤1时恒成立.
又g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3)是一个开口向下的二次函数
得a可取的充要条件:
g(-1)=-a+(1/3)≥0
且g(1)=a+(1/3)≥0
解得 -1/3≤a≤1/3
所以a的取值范围是 -1/3≤a≤1/3。