Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证四边形AEFG菱

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形

Answer 1

易证三角形ACE全等于三角形CEF
得出AE=EF 角AEC=角CEF
又AD平行EF 所以角AGE=角GEF
又前面那三个角都相等 所以三角形AGE是等腰
所以AG=AE=EF 所以AG平行且等于EF
所以四边形AGFE是平行四边形 但是AE=EF
故它是菱形

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Answer 2

思路：证明∠AGE=∠AEG（利用外角性质），得AG=AE，再证明△ACE≌△FCE，得AE=EF，∴AG=EF，∵，AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG‖EF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形

Answer 3

证明：
∵∠C+DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°
∴∠C=∠BAD
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
∵∠AGE=∠BAD+∠ABE，∠AEG=∠C+∠CBE
∴∠AGE=∠AEG
∴AG=AE
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，EA⊥AB
∴EA=EF=AG
∵AD⊥BC，EF⊥BC
∴AD//EF
∵AG=EF
∴AGFE是平行四边形，
因为AG=AE
∴四边形AEFG是菱形

Answer 4

证明:AB垂直AC,AD垂直BC,则:∠CAD=∠B.(均为角EAG互余);
又∠ACG=∠BCE.则∠CAD+∠ACG=∠B+∠BCE,
即∠AGE=∠AEG.(三角形外角性质),AE=AG.
又EF垂直BC,则AE=EF.(
角平分线的性质
).
故EF=AG;又EF平行AG,则四边形AEFG为
平行四边形
;
又AE=EF,所以,四边形AEFG为菱形.

Answer 5

∵ef⊥bc
∠bac=90°
∴△aec与△fec同是直角三角形且共斜边ce
又∵ce平分∠acb
∠ace=∠fce
∴△aec≌△fce
∴ae=fe
ac=fc
∵ac=fc
∠ace=∠fce
△acg与△fcg共边cg
∴△acg≌△fcg
∴ag=fg
加上ae=fe
∴四边形aefg是菱形