Question

已知函数f(x)的定义域为(0,+无穷)，且满足对任意的x＞0，y＜0

已知函数f(x)的定义域为(0,+无穷)，且满足对任意的x＞0，y＜0,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当x＞1时，f(x)＞0
求f(9)的值
判断f(x)的单调性，并记忆证明

Answer 1

定义域为(0,+无穷)，怎么会出现y＜0？
应该是对任意的x>0，y>0,f(xy)=f(x)+f(y)
那么f(9)=f(3)+f(3)=2

f(1)=2f(1) 得f(1)=0
f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0 得f(x)=-f(1/x)
令x2>x1>0 则x2/x1>1
那么f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)
因为x＞1时，f(x)＞0
所以f(x2/x1)>0 即f(x2)>f(x1)
所以f(x)在定义域上单调递增

Answer 2

f（9）=f（3*3）=f（3）+f（3）=1+1=2

设两不等实数x1，x2，且x1＜x2则?x=x2-x1＞0
?y=y2-y1=f（x2）-f（x1）
又∵f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(xy)-f(x)=f(y)
∴f（x2）-f（x1）=f（x2/x1）
又∵x1＜x2 ∴x2/x1＞1
∴f（x2/x1）＞0
所以f（x）为单调递增函数

嘿嘿、自己打的不知道对不对……

Answer 3

做不出来，定义域有问题好像。。