Question

求第15道数学题的解法！急！

Answer 1

c = (x^3 - 3x + 2) + xe^(-x) - ye^(-x)
其中 y >= 0
c <= (x^3-3x+2) + xe^(-x)
问题演变成求 g(x) = (x^3-3x+2) + xe^(-x) 的最小值

A: x>0 时，g(x) > 0

B: -2<=x<=0时：
其中 (x^3-3x+2) = (x+2)(x-1)^2 = (2x+4)(1-x)(1-x)/2
当 a, b, c 大于0时有：abc =[ a^(1/3) b^(1/3) c^(1/3) ]^3 <= (a+b+c)^3/27，当且仅当 a=b=c
所以, (x^3-3x+2)<= 6^3/27 /2 = 4 当且仅当 x = -1
这样，我们分:

B1: -2<=x<=-1
g(x) 是单调增函数, 因此 g(-2)<= g(x) <= g(-1), -2e^2<=g(x)<=4-e
B2: -1<=x<=0
(x^3-3x+2) 是单调减函数，在 [2, 4] 范围内
x/g(x) 是增函数，在 [-e, 0] 范围内
因此 g(x) 有下界 2-e

综上， 在 [-2, 0] 区间内, g(x) 有最小值 g(-2) = -2e^2

因此，c 有最小值 -2e^2