Question

已知函数f(x)的定义域为(0,+无穷)，且满足对任意的x＞0，y＜0,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当x＞1时，f(x)＞0

已知函数f(x)的定义域为(0,+无穷)，且满足对任意的x＞0，y＜0,f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当x＞1时，f(x)＞0
求f(9)的值
判断f(x)的单调性，并记忆证明

Answer 1

1.令x=y=3
f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2
2.
令y＞1，则xy＞x,f(y)＞0
f(xy)=f(x)+f(y)＞f(x)
∴f(x)单调递增 （因为xy>x,f(xy)>f(x).)

令x2>x1>0,则x2/x1>1 , 则f(x2/x1)>0
x2=(x2/x1)*x1
f(x2)=f(x2/x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2/x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)单调递增