Question

f(x)连续，f'(x)>0，是否存在δ>0，使得f(x)在(0,δ)内单调增加？

f(x)连续，f'(x)>0，是否存在δ>0，使得f(x)在(0,δ)内单调增加？答案是不能的，但为啥呢？在某点导数存在不就是在那点的附近领域内导数存在且大于0呗，意思是f(0+)和f(0-)都存在且f(0+)>f(0)>f(0-)，那么题目不就是对的了？

Answer 1

某一点导数存在并不能说明在该点邻域处导数也存在，所以仅由一点处的导数情况是无法得出单调性的情况

追问

能不能画个符合上面说法的导数的图？

追答

这样的例子比比皆是，比如f(x)=x∧2,x为有理数;f(x)=0，x为无理数。显然在0处可导，但是在0附近的任何邻域都不连续，更谈不上可导了

追问

x²求导后怎么就不连续了？2x是一条直线啊，哪里不连续？

追答

请注意，这是分段函数，只有当x为有理数时才为x∧2