Question

求解一道概率与数理统计题，内详，谢谢！

是这样的……
有某X的密度函数f(x)为偶函数，且0<E(X^2)<无穷大，证|X|和X不相关也不独立。

还有一道：
设X1，X2，……，Xn是相互独立的随机变量，Var(Xi)=Oi^2，求常数a1，a2，……，an满足a1+a2+a3+……+an=1，aj大于等于0，且使得Y=a1X1+a2X2+……anXn的方差最小。

谢谢~！

Answer 1

现在我在网上很少回答问题了，一般没啥兴趣，这两道题有一定的综合性，是初等概率论常见题目。
PRO1：
这个问题要求对f(x)为偶函数的rv的性质有一定了解，如E(x)=0,F(0)=0.5等等,这些以N(0,1)为模型都是易想象和证明的。
1：证不(线性)相关(相关系数为0)：
Cov(X,|X|)
=E[X(|X|-E|X|)]
=E(X|X|)-E(X)E|X|
=∫x|x|f(x)dx
=0 (奇函数)
2: 证不独立：
X和|X|的分布函数分别用F(x)和G(y)来表示，联合分布用F(x,y)表示，
X和|X|独立→F(x,y)=F(x)G(y),
令x=y=a>0有F(x,y)=P{X<a,|x|<a}=P{|x|<a}=G(a)，
故F(x)在a>0时恒为1，矛盾。
PRO2:
求Var(Y)=∑ai^2σi^2在限制∑ai=1下的min，
使用拉格朗日乘子法求解法则，很容易算出最优解为
ai=σi^2/∑σi^2, 或者由对称性理论也可以很快得出。
有问题继续。