Question

数学题（数学高手帮帮忙吧）

16个学生参加奥数竞赛，每题4个选项，考官发现任意两名学生的答案至多有1题相同，问考卷最多有几道题？（最好有简明过程）谢啦！！

Answer 1

答案是：最多有5道。

用分组的方法来讨论：

每题有4个选项，一题算一轮，那么我们需要在每轮都要把16人分成4组，一组对应1个选项。我们需要保证，已经站在同一组的，不能再在同一组。

首先，如果某组分了5个人，那么下一轮这5个人不能在相同的组了，但是总共只有4个组，所以说明，每组不能超过4个人，那么唯一的分组方法就是：每轮每组4人。

然后，对于任意一个人，每轮分组时，可以和3个不同的人分一组，除了他自己，还剩15个人，那么这15个人可以进行15÷3＝5（轮）分组，而不会重复。大于5轮的话，就必定重复。

综上所述，分4组，每组4人，可进行最多5轮分组而不重复。因此，题目最多5道。

Answer 2

我给个假设思路,因为可能性多得复杂,我只算出最少可以有几道题.
很简单.假设16个学生答题时在每道题都是四个人选一项.
那么其中一个学生就可以与其它15位学生在5道题中有且只有一题相同.
当然这个思路正确性待验证.涉及的算法对我来说比较复杂.
还有就是在我以上假设以外可能还有答案.
比如4个以上学生在同一题中选同一选项,但是这样题目数应该更少.
数学要有详细的证明才能下定论.
该题可以拖延时间采纳,直到有人给出正确算法.
我用最笨的方法写出了3道题答题序列.
不过后面确实难写了.难道跟4*4=16有关系?

夜来风雨声的答案应该是正确的
他前面的分析每题最多只能有四个人选很恰当,当一题中有一个选项超出5人,另外任一题必定出现两人第二次同答案.
但对于5次分组,也许是夜来的逻辑思维能力太强了,对我来说还是不能客观地给出不重复的证明.
这里可以用boomans的排列组合法来推导,不过boomans忽略了120种组合还必须再两两组合.还会出现重复,必须惕除.
或者用每四人组合,再惕除重复,比较直观一些.
具体排列算法本人还没学.等高手解答.

Answer 3

这个问题本身有问题，如果你确定没打错的话那么答案就是考卷最多有1道题，如果有两道题就无法保证任意两名学生的答案至多有1题相同

Answer 4

将16个学生中的任意2个做排列组合可得P16^2=(16*15)/(2*1)=120种，但每题有4个选项，所以总共有120/4=30题

排列组合公式定义：http://baike.baidu.com/view/738955.html#1

Answer 5

最多有两道题，因为有16个学生参赛，每个题有四个选项，则第一题至少有一个选项有至少四个学生同时选了，即已经有一道题有四个学生有相同的答案，不妨设为学生甲乙丙丁选了第一题的A答案，则第二题，此四人中任两人不能再选同样的答案，否则就会有两个人有两题的答案相同，刚好四个人对应四个选项，即考卷最多有两道题。按着第一题一个每个选项恰有四个人选，可以很简单的构造出它们的答案选项，不知这个解答是否满意~