Question

一道初二证明题

如图1，在RT△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是直线AC上的两动点，且AD=CE，AM⊥BD，垂足为点M。延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F。
①试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由；
②若D、E运动到如图2所示，其它条件不变，∠EDF与∠DEF的大小关系存在吗？试说明理由；
③如图3，当D、E运动到图3所示位置，试探求∠EDF与∠DEF的大小关系，并说明理由。

Answer 1

（1）过A点作AQ⊥BC交BD于点P,垂足为Q.
∵AB=AC ∠BAC=45º
∴∠C=∠PAB=45º
∵AM⊥BD
∴∠AMD=90º ∠MAD＋∠MDA=90º
∵∠BAC=90º ∠ABD＋∠ADM=90º
∴∠ABD=∠NAC
在⊿PAB和⊿NCA中
∠PAB=∠C
AB=AC
∠ABD=∠NCA
∴⊿PAB≌⊿NCA（ASA）
PA=NC
在⊿APD和⊿CNE中
AD=CE
∠DAM=∠C=45º
PA=NC
∴⊿APD≌⊿CNE（SAS）
∠CEN=∠ADP
∵AC、BF相交于点D,NF、AC相交于点E,
∴∠EDF=∠ADP
∠DEF=∠CEN
又：∠CEN=∠ADP
∴∠DEF=∠EDF
（2）、（3）同理可证：∠DEF=∠EDF