Question

高数题 请看图

Answer 1

　　解：1题，设矩形的长为x、宽为y，则x+y=p；不妨假设是绕长为x的边旋转，则体积V=πxy^2=πx(p-x)^2。
　　由V对x求导，并且令其值为0，∴V'=π[(p-x)^2-2x(p-x)]=0，得x=p、x=p/3。
　　而当x=p时，y=0意味着V=0，非最大值，舍去。∴x=p/3时，maxV=(4π/27)p^3。
　　2题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
　　而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1，-1<x<1。
　　x=-1时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛、x=1时，是p=1的p-级数，发散。∴级数的收敛域为，x∈[-1,1)。
　　设S(x)=∑(1/n)x^n，在其收敛域内、对x求导，有S'(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)，∴S(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
　　再令S1(x)=∑(1/n)x^(n-1)，则xS1(x)=S(x)=-ln(1-x)，∴S1(x)=(-1/x)ln(1-x)。令x=-1，则∑(1/n)(-1)^(n-1)=S1(-1)=ln2。
　　供参考。