Question

求x趋于0时的极限

Answer 1

1的无穷大次方型的，可以用这个公式：
lim u^v =lim e^ (v(u-1))

（证明： lim u^v =lim e^ (vlnu)＝lim e^ (v ln(1+u-1))=lim e^[v(u-1)] ，最后一步用到等价无穷小ln(1+x)~x )

可以直接用那个公式，或者依照证明的那个思路解。

Answer 2

原式=lim(x->0)[1+(arcsinx-x)/x]^1/x²
=e^lim(x->0)[(arcsinx-x)/x·1/x²]
=e^lim(x->0)[(arcsinx-x)/x³]
=e^lim(x->0)[(1/√(1-x²)-1)/3x²]
=e^1/3lim(x->0)[(1-√(1-x²))/√(1-x²)x²]
=e^1/3lim(x->0)[(1-√(1-x²))/x²]
=e^1/3lim(x->0)[(x²/2)/x²]
=e^1/6