Question

求下列函数指定的导数

1，设f(x)=一竖/1-2x一竖 sin (2+x+根号1+x^2),求f'(x)
解，这是分段函数，可改写成
f(x)={ (1-2x)sin(2+x+根号1+x^2),x小于等于1/2
（2x-1）sin (2+x+根号1+x^2),x>1/2
上面两个在一起大括号里面哦！
x<1/2时， f'(x)=-2sin(2+x+根号1+x^2)+[(1-2x)(x+根号1+x^2)cos(2+x+根号1+x^2)/根号1+x^2)]这步是怎么算的请重点讲
以及x=1/2处的左导数：f'-(1/2)=-2sin(5+根号5）/2)）：
当x>1/2时 ， f'(x)=2sin(2+x+根号1+x^2)+[(2x-1)(x+根号1+x^2)cos(2+x+根号1+x^2)/根号1+x^2]
以及在x=1/2处的左导数：f'+(1/2)=2sin[(5+根号5)/2],
因f'+(1/2)不等于f'-(1/2),所以f(x)在x=1/2处不可导

请详细讲一下每一步，谢谢

Answer 1

当x<1/2时，f'(x)=(1-2x)'sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)[sin(2+x+√1+x²)]'
=-2sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)cos(2+x+√1+x²)[2+x+√1+x²]'(复合函数求导公式）
=-2sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)cos(2+x+√1+x²)[2'+x'+(√1+x²)]
=-2sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)cos(2+x+√1+x²)[0+1+x/√1+x²)]
=-2sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)cos(2+x+√1+x²)(1+x/√1+x²))
∴x<1/2时
f'(x)=-2sin(2+x+√1+x²)+(1-2x)cos(2+x+√1+x²)(1+x/√1+x²))
令x从1/2左边趋于1/2（小于1/2而趋于1/2）求上式的极限得(只需把x=1/2代入上式两边即可)
f'-(1/2)=-2sin[(5+√5)/2]

当x>1/2时，f'(x)=(2x-1)'sin(2+x+√1+x²)+(2x-1)[sin(2+x+√1+x²)]'
=2sin(2+x+√1+x²)+(2x-1)cos(2+x+√1+x²)(1+x/√1+x²))
令x从1/2右边趋于1/2得
f'+(1/2)=2sin[(5+√5)/2]
后面你已经写出来了，我就不写了。

Answer 2

详细解答与说明,请参见下图。点击放大、再点击再放达：