Question

求n阶导数

设f(x)=x/(4x^2-8x+3),求f^(15) (1)
解f(x)=x/(4x^2-8x+3)=x/[(2x-3)(2x-1)]=[(3/4)/(2x-3)]-([1/4)/(2x-1)]
f^(15)(x)=3/4乘(（-1）^15) 15!2^15/(2x-3)^16 - 1/4 乘[(（-1）^15) 15! 2^15/(2x-1)^16]
f^(15) (1)=1/2 15! 2^15=-15!2^14

请重点讲一下第二步，看不懂的告诉我！

Answer 1

设f(x)=x/(4x^2-8x+3),求f^(15) (1)
解
f(x)=x/(4x^2-8x+3) 【已知】
=x/[(2x-3)(2x-1)] 【分母因式分解】
=[(3/4)/(2x-3)]-([1/4)/(2x-1)] 【进一步分解成有理分式之和, 或有理分式之差】
【因为(2x-3)和(2x-1)都是一次函数，分解成有理分式时，分子是常数项，然后待定系数】
【A/(2x-3) + B/(2x-1), 然后通分，比较分子，得出系数A=3/4，B=-1/4】
f^(15)(x)=3/4乘(（-1）^15) 15!2^15/(2x-3)^16 - 1/4 乘[(（-1）^15) 15! 2^15/(2x-1)^16]
【连续求导15次后的结果】
f^(15) (1)=1/2 15! 2^15=-15!2^14 【代入x=1后的结果】

【说明】
分解成有理分式的一套方法，在国内的教学中，基本上被忽略了。

Answer 2

你对1/(2x-1)一次一次求导就能得到这个结论了
对a/(bx-c)求n阶导数得到 a*(-1)^n*n!*b^n/(bx-c)^(n+1)