Question

数学应用题

要造一个容积v的圆柱形密闭罐，问底半径r和高h为多少时，能使表面积最小？这是底半径和高的比值为多少？

Answer 1

V = πr²·h
表面积S = 2πr·h + 2πr² = 2πr·（h + r）
= 2π·[ (√V÷π÷h）·h + V ÷π÷h)
= 2V÷h + 2(√V·π·h)
= 2V÷h + (√V·π·h) +(√V·π·h)
≥ (³√2V²π²)
当h³= 4V/π时，表面积最小
r³ = V／2π
∴r∶h = 1∶2

Answer 2

v = πr²h
h = v/πr²

S
= 2πr² + 2πrh
= 2πr² + 2πr(v/πr²)
= 2πr² + 2v/r
= 2πr² + v/r + v/r
≥ 3·³√(2πr²·v/r·v/r)
= 3·³√(2πv²)

当且仅当 2πr² = v/r 时等号成立
所以
r = ³√(v/2π)
h = v/πr² = ³√(4v/π)

所以 r/h = 1/2

Answer 3

这题得利用公式
a+b+c>=3(abc)^(1/3)
V=h*∏*R^2-->h=V/∏R^2
S=2∏Rh+2∏*R^2=2∏(V/∏R+R^2)>=（2∏V^2）^(1/3)