幂级数 ∑|(∞,n=1) (x^n)/n 收敛半径和收敛域
收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]；
收敛域为【-1,1)
具体解题步骤：
∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，
∴收敛半径R=1/ρ=1.又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，
∴丨x丨<1,即-1<x<1。
而当x=-1时,是交错级数，级数为∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1),而后者收敛;
当x=1时,收敛。
∴收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。
由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+两边积分 ∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+即得:∑(∞ ,n=1)x^n/n=-ln(1-x) 收敛域:|x|即收敛域为【-1,1)。
扩展资料
收敛半径的性质：
1、收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。
2、具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。
在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。
参考资料来源
收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]；
收敛域为【-1,1)
具体解题步骤：
∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，
∴收敛半径R=1/ρ=1.又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，
∴丨x丨<1,即-1<x<1。
而当x=-1时,是交错级数，级数为∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1),而后者收敛;
当x=1时,收敛。
∴收敛区间为-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。
由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+两边积分 ∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+即得:∑(∞ ,n=1)x^n/n=-ln(1-x) 收敛域:|x|即收敛域为【-1,1)。
收敛半径的性质：
1、收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。
2、具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。
在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。
对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。
如图所示
