Question

质量为m 半径为r的圆盘滑轮上跨以轻绳,绳的一端施以恒力F

质量为m 半径为r的圆盘滑轮上跨以轻绳,绳的一端施以恒力F，另端系一质量m 边长为l的正方体，如图所示。开始时，正方体的上端面正好与密度为p的液面重合，今在恒力F的拉动下上升。求：
1 当正方体一半露出液面时，滑轮的角速度与绳子的张力
2 正方体刚离开液面时的速度。

Answer 1

假设圆盘式均质的，转轴过圆盘中心，由动量矩定理，则圆盘角加速度：
ε=F.r/J=F.r/(mr^2/2)=2F/(mr)

追问

那个，之前没注意，题目不全

追答

取整体为研究对象 

设正方体露出水面高度为x，由动量矩定理

角加速度 ε=∑Mo(F)/J    (1)

其中，合外力矩 ∑Mo(F)=r(F-mg+ρg(L-x)L^2) ,对轮心转动惯量 J=mr^2/2+mr^2=3mr^2/2 , 代入(1)式并整理

角加速度 ε=2(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(L-x)/(3mr)  ,   (2)

∵ ε=dω/dt

∴  dω/dt=2(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(L-x)/(3mr)   (3)

将dω/dt乘以 dθ/dθ 

(dω/dt)( dθ/dθ )=ωdω/dθ  代入(3)式 

ωdω/dθ =2(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(L-x)/(3mr) ，分离变量并积分 ：

∫ωdω=∫(2(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(L-x)/(3mr))dθ

将x=rθ 代入

------   ∫ωdω=∫(2(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(L-rθ)/(3mr))dθ

(0-->ω)         (0-->θ)

ω^2/2=2θ(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(Lθ-rθ^2/2)/(3mr)

ω=√[(4θ(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(2Lθ-rθ^2)/(3mr)]        (3)

正方体1/2露出液面时 ，θ=L(2r) ,代入(3)式 ：

ω1=√[2L(F-mg)/(3mr)+3ρgL^4/(12mr^2)]

将x=L/2 代入 (2)式

ε1=2(F-mg)/(3mr)+ρgL^3/(6mr)

取轮为研究对象，动量矩定理

Jo.ε1=(F-T)r  ,T=F-ε1.Jo./r=F-ε1(1/2)mr^2)/r=F-ε1.mr/2

正方体刚离开液面时的速度 v=r.ω2

将θ=L/r 代入 (3)

ω2=√[(4θ(F-mg)/(3mr)+ρgL^2(2L(L/r)-r(L/r)^2)/(3mr)]  

=√[(4L(F-mg)/(3mr^2)+ρgL^4/(3mr^2)]