Question

已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an,

(n=1,2,3,…)
求证:数列{an-1}是等比数列

Answer 1

a1+a2+a3+…+an=n-an
2an=n-(a1+a2+a3+......+a(n-1)
an=(n-(a1+a2+a3+......+a(n-1)))/2 1

因为a1+a2+a3+…+an=n-an
则有a1+a2+a3+.....a(n-1)=n-1-a(n-1) 2
2代入1式得
an=(n-(n-1-a(n-1)))/2
=(n-n+1+a(n-1))/2
=(1+a(n-1))/2
an-1=(1+a(n-1))/2-1
=(1+a(n-1)-2)/2
=(a(n-1)-1)/2
(an-1)/(a(n-1)-1)=1/2
所以 数列{an-1}是以公式为1/2的等比数列