Question

f(x)可导，F(x)=f(x)(1+lsinxl)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的

f(x)可导，F(x)=f(x)(1+lsinxl)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的什么条件？

Answer 1

充要条件。
从左导数和右导数考虑（即求导时的左极限和右极限）

当x不为0时，F(x)是两个可导函数的乘积，故可导。所以只用考虑x=0的情况。

F(x)在0的左导数等于f(x)(1-x)的左导数，而后者可以直接求导，所以
F'-(0) = f'(0)(1-0) - f(0) = f'(x) - f(0)

同理，F(x)在0的右导数等于f(x)(1+x)的右导数，所以
F'+(0) = f'(0)(1+0) + f(0) = f'(0) + f(0)

可导要求左右导数相等，所以可导当且仅当f(0) = 0

追问

1+lsinxl在x=0处也是可导的吗？怎么证明的？

追答

同理，F(x)在0的右导数等于f(x)(1+x)的右导数，所以
F'+(0) = f'(0)(1+0) + f(0) = f'(0) + f(0)
采纳

同理，F(x)在0的右导数等于f(x)(1+x)的右导数，所以
F'+(0) = f'(0)(1+0) + f(0) = f'(0) + f(0)
采纳

追问

你就跟我说一下这个函数1+lsinxl为什么在x=0处也是可导的？

追答

解；连续但是不可导
先证明连续性：
因为lim【x→0-】=-sinx=0
lim【x→0+】=sinx=0
所以左极限=右极限
故函数y=lsinxl在点x=0处连续
下面证明可导性：
因为y '(0-)=lim【x→0-】[y(x)-y(0)]/x=(-sinx)/x=-1
y '(0+)=lim【x→0+】[y(x)-y(0)]/x=(sinx)/x=1
所以y '(0-)≠y '(0+)
不函数在点x=0处不可导
貌似错了
采纳

解；连续但是不可导
先证明连续性：
因为lim【x→0-】=-sinx=0
lim【x→0+】=sinx=0
所以左极限=右极限
故函数y=lsinxl在点x=0处连续
下面证明可导性：
因为y '(0-)=lim【x→0-】[y(x)-y(0)]/x=(-sinx)/x=-1
y '(0+)=lim【x→0+】[y(x)-y(0)]/x=(sinx)/x=1
所以y '(0-)≠y '(0+)
不函数在点x=0处不可导
貌似错了
采纳

追问

也就是说函数1+lsinxl在0这一点是不可导的，那么当f(0)=0时就不能推出F(x)在0这一点处可导了，是吗？

追答

是的

是的

追问

也就是说那个命题是必要不充分条件了

追答

是的呀
采纳哦…………