Question

求解达这几道数学极限题！

请知道的能解答一下，小弟十分感谢了！
P。S：当然要附上解答过程，我要弄懂这类型的题是怎么做的谢谢！过程完整清晰的话再加分了！在线等！

1、lim = [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)

2、lim = sin2x / sin7x
(x - 0)

3、lim = (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)

4、lim2^n * sin(x / 2^n) (X不等于0)
(n - 无限)

5、lim[(1 + 2)/x]^(x + 3)
(n - 无限)

6、lim[(1 + x) / x]^2x
(x - 无限)

Answer 1

1、lim = [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)

（x + h)^3-x^3=[(x+h)-x][(x+h)^2+ x(x+h)+ h^2]

原式就等于lim [(x + h)^3-x^3] / h
(x - 0)

= lim [(x + h)^2+x(x+h)+h^2]
(x - 0)

=2h^2

2、lim = sin2x / sin7x
(x - 0)
等价无穷小的替换公式sinx ~ x(x趋向0时)
原式就等于
lim sin2x / sin7x
(x - 0)

=2x/7x

=2/7

3、lim (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)
等价无穷小的替换公式(1)sinx ~ x (2)1-cosx~ x^2/2(x趋向0时)
原式就等于
lim (1 - cos2x) / (xsinx)
(x - 0)

=lim [(2x)^2]/2/x^2

=2

4、lim 2^n * sin(x / 2^n) (X不等于0)
(n - ∞)

=lim sin(x/2^n)
（n-∞）--------- * x
x/2^n

n-∞时 x/2^n(这里视x为常数)趋向于0
等价无穷小的替换公式sinx ~ x(x趋向0时)

原式等于
=x

5、lim[1 + 2/x]^(x + 3)
(x - 无限)
此种类型对应于1∞型,公式lim(1+ 1/x)^(x) =e

原式等于=
lim[1 + 2/x]^x * lim[1 + 2/x]^3
(x-∞） (x-∞)

=lim{[1+1/(x/2)]^(x/2)}^2 *1

=e^2

6、lim[(1 + x) / x]^2x
(x - 无限)

此种类型对应于1∞型,公式lim(1+ 1/x)^(x) =e
(x-∞)
原式=lim[(1+1/x)^x]2
(x - 无限

=e^2